теорема об аффинном множестве
Есть такая теорема об удивительном свойстве аффинного множества:
Пусть X ⊆ Rⁿ — аффинное множество. Тогда для любого x_0 множество
это линейное подпространство. L — единственное и не зависит от выбора x_0.
Другими словами, если у нас есть какое-то аффинное множество X, то если взять любую точку этого пространства и вычесть поэлементно из всего множества, то в результате получится линейное подпространство L. При этом неважно, какую точку в аффинном множестве вы выбираете, линейное подпространство будет всегда получаться одно и то же.
Рассмотрим такой пример. Допустим, у нас есть аффинное множество — прямая X, которая задана уравнением y = 2x + 1:
Если мы возьмем любую точку на этой прямой, например, (0, 1) и вычтем из всего множества, то получим прямую, которая параллельна исходной прямой и проходит через начало координат (0, 0).
Точка a (0, 1) из аффинного множества X станет точкой с координатами (0, 0) в L, а точка b (1, 3) — точкой с координатами (1, 2):
Теперь возьмем какую-нибудь другую точку, например (2, 5) и вычтем ее из множества X:
в этом случае точка a (0, 1) становится точкой с координатами (-2, -4), а точка b получает координаты (-1, -2). При этом линейное подпространство L чудесным образом остается тем же самым.
