сходимость по вероятности и матожидание
В этой статье мы рассмотрим хороший пример, иллюстрирующий утверждение, что сходимость случайной величины по вероятности не означает сходимости ее матожидания.
Пусть задана случайная величина Y, которая с вероятностью 1–1/n принимает значение 0, и с вероятностью 1/n принимает значение n².
Логично будет предположить, что с ростом n эта случайная величина будет все чаще получать значение 0. При больших значениях n вероятность того, что Yₙ примет большое значение n², становится очень малой, а основной вклад дается нулевым значением. Другими словами, эта случайная величина сходится по вероятности к нулю.
Последовательность случайных величин сходится к некоторому значению ξ тогда и только тогда, когда при n стремящемся к бесконечности для любого положительного ε вероятность того, что значение случайной величины отклоняется от ξ больше, чем на ε равна нулю:
Возьмем и зафиксируем некоторое положительное значение ε > 0. Поскольку случайная величина Yₙ может принимать только два значения — 0 и n², — при достаточно большом значении n число n² будет существенно превосходить любое фиксированное ε. Поэтому, если неравенство |Yₙ - 0| ≥ ε верно, то Yₙ никак не может быть равно нулю, то есть это неравенство эквивалентно событию Yₙ = n². Однако, вероятность такого события равна 1/n, которая стремится к нулю с ростом значения n:
Другими словами, с ростом n вероятность того, что Yₙ отклонится от нуля более, чем на фиксированное значение ε, становится пренебрежимо малой, что и означает сходимость Yₙ по вероятности к нулю:
Теперь поглядим, как себя ведет математическое ожидание этой случайной величины. Математическое ожидание случайной величины — это сумма всех ее возможных значений, умноженных на вероятность каждого из них:
где y пробегает все возможные значения случайной величины.
В нашем случае случайная величина Yₙ принимает два значения:
- Yₙ = n² с вероятностью P(Yₙ = n²) = 1/n
- Yₙ = 0 с вероятностью P(Yₙ = 0) = 1-1/n
Подставим эти значения в формулу матожидания:
Получаем, что матожидание случайной величины Yₙ равно n и стремится к бесконечности при росте n:
Это наглядно иллюстрирует ситуацию, когда случайная величина почти всегда близка к нулю, но изредка может принимать настолько большое значение, что оно вносит гигантский вклад в математическое ожидание.
Мы рассмотрели простой пример, показывающий, что если последовательность случайных величин сходится по вероятности к какому-то значению, то их математическое ожидание может не только не стремиться к этому значению, но и расходиться.
