Сумма факториальных моментов
Задача формулируется следующим образом. Пусть ξ — равномерное распределение на множестве {1,2,3,4,5,6}. Найдите сумму всех факториальных моментов ξ.
На всякий случай напомню, что факториальный момент — это такая мера распределения, которая показывает ожидание в убывающем факториале о наличии случайной величины.
В общем случае k-й факториальный момент можно найти по формуле:
Так как у нас распределение равномерное и дискретное, то, согласно указанной выше формуле, первый факториальный момент вычисляется просто как среднее арифметическое:
Второй, как среднее арифметическое произведения ξ и (ξ - 1):
Третий, как среднее арифметическое произведения ξ, (ξ - 1) и (ξ - 2):
Вычисляя точно так же последовательно четвертый, пятый и шестой моменты, просто добавляя к произведению под знаком суммы (i - 3), (i - 4) и (i - 5), получаем значения 84, 140 и 120.
Начиная с седьмого, факториальные моменты дискретного равномерного распределения, состоящего из шести элементов, оказываются равны нулю.
Остается только сложить полученные значения и задача решена:
