пример сходимости по вероятности
Пусть заданы случайные независимые, одинаково распределенные случайные величины Xᵢ, имеющие равномерное распределение на интервале [0,1]:
Рассмотрим связанную случайную величину Yₙ, которая представляет собой минимум из первых n элементов Xᵢ:
Нас будет интересовать, как ведет себя Yₙ при увеличении числа n, и в частности, будет ли Yₙ стремиться к нулю?
Если мы добавляем элементы из Xᵢ в случайную величину Yₙ, то значения, оказавшиеся больше уже найденного минимума, никак не повлияют на Yₙ. Только те значения, которые меньше найденного минимума, повлияют на значение Yₙ, уменьшив его. То есть значение Yₙ можно либо оставить прежним, либо уменьшить.
Так как такая случайная величина может только уменьшаться, то верно неравенство:
По мере увеличения значения n можно ожидать, что Yₙ будет приближаться к нулю, поэтому можно сделать предположение, что при достаточно больших n случайная величина Yₙ сходится к нулю.
Для проверки предположения зафиксируем некоторое положительное значение ε и посмотрим на вероятность того, что расстояние между случайной переменной Yₙ и нулем будет больше или равно ε.
Поскольку по условию задачи случайная величина Yₙ ≥ 0 всегда, то |Yₙ — 0| ≥ ε эквивалентно Yₙ ≥ ε:
Если ε > 1 то, эта вероятность будет равна нулю, так как по определению у нас задано распределение на [0,1], соответственно, не существует исходов, при которых Yₙ окажется больше ε. В этом случае:
Рассмотрим случай, при котором ε ≤ 1. В этом случае минимум примет значение как минимум ε в том и только в том случае, когда все случайные переменные как минимум равны ε:
так как случайные величины независимы, то эта вероятность представляет собой произведение вероятностей того, что каждая из случайных величин примет как минимум значение ε:
Вероятность того, что случайная величина примет значение больше или равное ε будет равна (1 - ε). Так как случайная величина одинаково распределена все вероятности будут одинаковыми, поэтому получаем, что вероятность будет равна:
ε — неотрицательное число, (1 - ε) строго меньше единицы. Если при n стремящемся к бесконечности, берем степень числа, меньше единицы, то значение будет сходиться к нулю:
При фиксированном ε > 0 каждый Xᵢ с вероятностью (1 - ε) находится на интервале [ε, 1]. Чтобы минимум был не меньше ε, все n значений должны попасть в этот интервал, что с ростом n становится все менее вероятным.
Отсюда можно сделать вывод, что случайная величина Yₙ по вероятности сходится к нулю:
