выпуклое множество
Множество X ⊆ Rⁿ называется выпуклым, если вместе с любой парой точек x₁, x₂ ∈ X оно содержит все точки вида
В этом месте выпуклое множество определяется точно также, как и аффинное, разница в ограничениях на коэффициент θ. Если у аффинного множества коэффициент может быть любым действительным числом, то у выпуклого множества ограничение θ ∈ [0, 1].
Это означает, что выпуклое множество можно определить как множество, в котором для каждых двух любых точек содержится и весь отрезок, их соединяющий.
Вот такое множество — невыпуклое, потому что оно содержит такие пары точек, для которых отрезок, их соединяющий, окажется вне множества:
А вот такое, напротив, выпуклое, потому что все пары точек вместе с отрезками живут в этом множестве:
Примерами выпуклых множеств могут служить:
- любое аффинное множество
- луч, отрезок
- шар по норме в Rⁿ
- эллипсоид
где P — это симметричная положительно определенная матрица
- решение системы линейных неравенств
- гиперплоскость
- полупространство
- полиэдр (многогранник)
