вероятность объединения событий: от определения к практичной формуле

Для любого события A из множества событий алгебры 𝒜, вероятность определяется как сумма вероятностей элементарных исходов из A:

Событие A ⋃ B состоит из всех элементарных событий, которые принадлежат либо множеству A, либо множеству B, либо одновременно их пересечению A ⋂ B. Вероятность объединения по определению вычисляется как:

Эта формула представляет собой длинное с суммирование по всем элементарным исходам и может быть неудобна на практике, поэтому давайте разберемся, как от этой формулы перейти к более удобному выражению.

разделение на части

Множество A ⋃ B можно представить как объединение трех не пересекающихся частей:

• все исходы, которые принадлежат A, но не принадлежат B (обозначается как A \ B),
• все исходы, которые принадлежат B, но не принадлежат A (обозначается как B \ A),
• все исходы, которые принадлежат одновременно A и B (обозначается как A ⋂ B).

Кратко это можно записать как:

Следовательно вероятность объединения можно расписать как сумму сумм вероятностей каждого из этих множеств:

связь с вероятностями P(A) и P(B)

Вероятность события A можно представить как сумму вероятностей всех исходов, которые принадлежат A, но не принадлежат B, сложенную с суммой вероятностей пересечения этих множеств:

Аналогично рассуждая можно представить вероятность события B:

Теперь сложим вероятности P(A) и P(B):

При внимательном взгляде на получившееся равенство видно, что первые три слагаемых представляют собой не что иное, как описанную в самом начале вероятность объединения P(A ⋃ B), поэтому его можно переписать как:

последний знак суммы, как мы обозначили выше, это вероятность пересечения:

Теперь поменяем местами части выражения и получим искомую вероятность объединения:

Из этого также следует, что, если множества A и B независимы, то их пересечение — это пустое множество A ⋃ B = ∅, соответственно, вероятность их объединения представляет собой просто сумму вероятностей:

резюме

Таким образом, мы перешли от громоздкого определения вероятности объединения через суммы вероятностей отдельных элементарных исходов, принадлежащих соответствующим множествам A и B, к более практичному, компактному и универсальному выражению.