аффинное множество

Формально аффинное множество определяется так:

Множество X ⊆ Rⁿ называется аффинным, если вместе с любой парой точек x₁, x₂ ∈ X оно содержит все точки вида

где θ ∈ R¹.

Другими словами, если мы возьмем любые две точки из такого множества, то окажется, что прямая, которая их соединяет, также принадлежит этому множеству.

Рассмотрим такой простой пример: пусть наше аффинное множество — это прямая, описываемая уравнением

Возьмем x₁ = -2, а x₂ = 2.

Определение аффинного множества утверждает, что какой бы коэффициент θ мы ни взяли, получившаяся точка окажется на той же прямой.

Для примера определим два разных коэффициента θ и поглядим, как ведут себя точки. Пусть значения будут 2 и -0.5, тогда получившиеся точки x_θ будут иметь координаты (-6, -11) и (4, 9) и, если мы их построим на графике, то увидим, что они чудесным образом оказываются на той же самой прямой:

что и показывает верность определения.

Примерами аффинных множеств будут:

• Rⁿ, прямая, гиперплоскость
• точка, ∅ — пустое множество
• решение системы линейных уравнений

Справедливость последнего можно доказать по определению аффинного множества.

Возьмем две точки x₁, x₂ ∈ X и любой коэффициент θ ∈ R. Проверим, чему будет равно Ax_θ:

раскроем скобки:

Теперь смотрим внимательно на то что получилось: Ax₁ лежит в нашем множестве X, а значит можно сказать, что Ax₁ — это b. Аналогично и Ax₂ лежит в множестве X, а значит Ax₂ — тоже b. Подставим вместо них b:

Получается, мы только что вывели, что

Это означает, что x_θ лежит в множестве X, а это и говорит нам о том, что множество X — аффинное.