аффинная комбинация точек

Аффинная комбинация — это такая линейная комбинация точек аффинного пространства, у которой общая сумма коэффициентов равна единице

Допустим, у нас есть две точки x₁ с координатами (1, 2) и x₂ с координатами (3, 4). Выберем для них коэффициенты θ₁ и θ₂ такие, чтобы их сумма была равна единице. Пусть это будет, например, 0.3 и 0.7. Тогда их аффинная комбинация равна

Геометрически на плоскости такая аффинная комбинация будет выглядеть как точка, находящаяся на прямой, соединяющей x₁ и x₂

Для трех точек на плоскости аффинная комбинация попадет внутрь треугольника, образованного этими точками, в том случае, если все коэффициенты положительны.

Например, возьмем три точки x₁(1,1), x₂(2, 3) и x₃(3, -1). Возьмем коэффициенты 0.5, 0.3 и 0.2, соответственно:

На графике видно, что аффинная комбинация в этом случае оказалась внутри треугольника:

Если взять какой-то коэффициент больше единицы, то аффинная комбинация окажется за пределами треугольника. Помните, что в сумме коэффициенты должны быть равны единице, поэтому для соблюдения этого условия какие-то коэффициенты придется сделать отрицательными. Оставим точки те же, что и в предыдущем примере, однако коэффициенты теперь возьмем -0.5, 0.3 и 1.2:

в этом случае точка окажется снаружи треугольника: