алгебра множеств
определение
Определение алгебры множеств является одним из фундаментальных понятий теории вероятностей. В книге «Вероятность-1» А. Н. Ширяева оно дается следующим образом:
Если рассматривается некоторая система 𝒜₀ множеств 𝒜 ⊆ Ω, то с помощью теоретико-множественных операций ⋃, ⋂, \ можно из элементов 𝒜₀ построить новую систему множеств, которые также являются событиями. Присоединяя к этим событиям достоверное и невозможное события Ω и ∅, получаем систему множеств 𝒜, которая называется алгеброй, то есть такой системой подмножества Ω, что:
- Ω ∈ 𝒜
- если A ∈ 𝒜, B ∈ 𝒜, то множества A ⋃ B, A ⋂ B, A \ B также принадлежат 𝒜 [1]
Алгебра, построенная из заданной системы 𝒜₀ является наименьшей по включению системой множеств, удовлетворяющей этим условиям.
пример построения алгебры
Давайте разберем на конкретном примере, что представляет собой алгебра множеств.
Допустим, у нас есть пространство элементарных событий, состоящее из пяти элементов:
Построим алгебру 𝒜 на основе этого множества.
Возьмем в качестве начальной системы 𝒜₀ два подмножества Ω: {1, 2} и {3, 4}. Такой выбор сделан для иллюстрации, на практике начальная система может быть любой.
Теперь последовательно применим операции ⋃, ⋂, \ к множеству 𝒜₀ для построения новых множеств, а также включим в получившееся множество ∅ и Ω, как того требует определение.
Объединение ⋃:
Пересечение ⋂:
Разность \:
Для полноты построения следует также учесть разности с полным множеством Ω:
Итак, мы получили следующую алгебру:
проверка замкнутости
Замкнутость означает возможность проведения операций без выхода за пределы системы.
Проверим, что получившееся множество замкнуто относительно операций объединения, пересечения и разности. Для простоты восприятия будет показана проверка только для одного нового элемента {1, 2, 3, 4}, остальные элементы можно проверить аналогично и убедиться, что множество действительно замкнуто.
Объединение ⋃:
Пересечение ⋂:
Разность \:
Как и следует из определения, полученное множество 𝒜 содержит пустое множество ∅ и достоверное событие Ω, а также замкнуто относительно операций ⋃, ⋂ и \.
резюме
Таким образом, исходя из набора начальных множеств Ω и 𝒜₀ и используя определения алгебры, мы получили полную систему подмножеств 𝒜, замкнутую относительно объединения, пересечения и разности, а также содержащую ∅ и Ω. Именно такая система и называется алгеброй.
- Ширяев А. Н. Вероятность: В 2-х кн. — 6-е изд., испр. — М.Ж МЦНМО, 2017
